积分投资法 - Longbridge

如果第一篇文章能看懂的话，那第二篇文章就更加简单了，因为很多的公式什么的，大学课程都有教过，哪怕是文科，应该也是强制学的吧🥲所以在座各位应该是都能理解的。

从大数定律，其实我们还可以衍生一个东西，我们可以这么去看投资。如果说大数定律是静态结果，那微积分是动态过程。

大数定律告诉我们最终会到达哪里，也就是长期平均回报。
微积分告诉我们如何到达那里，以及路径会是怎样的，通过变化率和累积过程计算。
公式则是将这两者结合起来的蓝图。

比如凯利公式，一个在大数定律框架下，可以算出如何最优地分配资金以最大化长期复合增长。

f^* = \frac{p \cdot b - q}{b}

f^* = 应该投入的资金占总资金的比例
p = 获胜的概率，比如 0.55，即 55%。
q = 1 - p = 失败的概率，比如 0.45。
b = 赔率，即赢了能拿回多少，例如下注 1 元，赢回 2 元，则净赢 1 元，赔率 b=1。

它和大数定律和微积分的联系：

凯利公式前提就是大数定律。它假设你这个投资游戏会重复无数次。只有在这种长期重复的背景下，讨论长期复合增长率最大化才有意义。如果你的投资策略没有正的期望值 p \cdot b - q > 0 ，大数定律会让你最终破产，凯利公式也救不了你。
凯利公式的推导本身就用到了微积分中的最优化理论。它求解的是财富对数函数 \mathbb{E}[\log(W)] 的最大值点。通过对期望值函数求导，并令导数等于零，可以找到这个最优的下注比例 f^* 。

凯利公式教导投资者，即便有一个优势p > 0.5 ，你也不应该 allin，因为 f^* = 1。下注过重，虽然单次收益最大，但一次失败带来的损失也极大，会严重损害你的复利积累过程。它通过数学精确地定义了下注过重的边界，确保你的资金能在市场的随机波动，也就是短期不确定性中生存下来，最终享受到大数定律带来的必然结果，也就是长期稳定增长。

要学会将投资视为一个连续变化的动态过程。

微积分研究的是变化。投资不是一年看一次的数字游戏，而是一个资产价格和投资组合价值连续变化的过程。比如导数衡量的瞬时变化率。

在物理学中，位移的导数是速度，速度的导数是加速度。
在投资中，你的资产净值曲线的导数，就是你的瞬时收益率或者叫损失率。
大数定律描述的是这条资产净值曲线长期的平均斜率。而导数描述的是这条曲线上每一点切线的斜率，即每日、每时的涨跌。短期来看，导数的每日涨跌动剧烈，正负交替，充满了随机性。但长期来看，这些剧烈波动的瞬时变化率的平均值，会收敛于一个稳定的数值，这就是由你投资组合的内在期望回报率所决定的。

承袭一个收敛状态下，另外一个理论其实也起到了作用，那就是积分衡量累积效应。

在物理学中，对速度进行积分，得到的就是总位移。
在投资中，对你连续不断的微小收益率进行积分，得到的就是你的总财富。

这正是复利的威力所在！

A = P(1 + r)^t

他本身就是一个离散时间的积分形式。

更精确的微积分视角是

A(t) = P \cdot e^{rt}

这里， e 是自然常数， r 是连续复利收益率。这个公式是通过对无限小时间间隔内的收益进行积分，累积而得到的。

财富的增长不是一个阶梯函数，而是一条可能很曲折的连续曲线。我们的目标不是抓住每一个向上的锯齿导数，那是做不到的；我们的目标是确保这条曲线的长期积分值，也就是总财富能够以指数形式增长。而实现这一目标的唯一可靠方法，就是依靠大数定律，通过长期和分散化，让你的实际年均回报率 r 无限接近你策略的期望回报率。

我个人坚信，通过投资于一个具有长期正期望回报p \cdot b - q > 0 的、广泛分散的资产组合，比如指数基金。在足够长的时间尺度下，我的平均回报一定会趋近于该组合的内在价值增长率。

那要做的只剩下制定和执行策略。我不会因为相信大数定律就盲目全仓投入。我会用凯利公式的精神指导自己。

在具有优势的赌局中下注，但永远保留一定的安全边际，即现金或低风险资产，避免因短期的极端波动，负的导数尖峰而被清零，从而无法享受到长期的积分效应。

要学会理解过程动态，接受我的投资组合价值会像一条崎岖不平的山路一样连续波动，导数时正时负，我不会因为短暂的下跌而恐慌性抛售；也不会因为短暂的暴涨而过度自信。我关注的是这条路径的整体走向和最终高度，也就是积分结果。我的工作就是确保自己始终在路上不下车。

大数定律为锋，告诉你长期的方向。
凯利公式为柄，告诉你在这条长路上，用多快的速度、携带多少补给，怎么仓位管理最安全、最有效。
微积分为环，理解这条路必然有上有下，有崎岖有平坦，但只要你朝着北极星的方向前进，并遵循导指引，你就一定能到达财富的终点。

这就是小可乐的天子剑。

理解了这三者的结合，你就不再是一个赌徒，而成为一名真正的投资人。