Black-Scholes 期權定價模型：掌握期權定價的核心公式

期權是現代金融市場中其中一個投資工具，但要準確評估期權的合理價格卻並非易事。1973 年，Fischer Black 和 Myron Scholes 開發的期權定價模型徹底改變了金融界對衍生工具的理解，這個模型更為其共同開發者 Myron Scholes 及 Robert Merton 贏得 1997 年諾貝爾經濟學獎。對於香港投資者而言，理解 Black-Scholes 模型不僅能幫助你為評估期權價值提供理論價格參考，更能在交易美股期權或港股期權時做出更明智的決策。本文將深入淺出地解析這個劃時代的期權定價工具，從基礎原理到實際應用，讓你全面掌握期權定價的核心知識。

什麼是 Black-Scholes 期權定價模型

Black-Scholes 期權定價模型（Black-Scholes Option Pricing Model）是一個用數學方法計算歐式期權理論價格的模型。所謂歐式期權（European Option），是指只能在到期日當天才能行使的期權，與美式期權（可在到期日前任何時間行使）有所不同。

模型的歷史意義

1973 年，Fischer Black 和 Myron Scholes 在《政治經濟學期刊》發表了這個具有里程碑意義的定價公式。同年，Robert Merton 也發表了相關論文，進一步擴展了這個模型的應用範圍，特別是針對支付股息的股票期權。這個模型之所以被視為金融學的重大突破，是因為它首次提供了一個嚴謹的數學框架來計算期權的「公允價值」（Fair Value）,讓期權交易從過往依賴經驗判斷轉變為可以科學量化的投資工具。

為什麼期權需要定價模型

在期權市場中，買方支付的期權金（Premium）由兩部分組成：內在值（Intrinsic Value）和時間值（Time Value）。內在值相對容易計算，它是期權立即行使時能獲得的回報。但時間值的計算就複雜得多，因為它受到多種因素影響，包括標的資產價格波動、距離到期日的時間長短、市場利率等。Black-Scholes 模型正是為了解決時間值的定價難題而誕生。

Black-Scholes 公式的組成要素

Black-Scholes 模型的核心是一個看似複雜但邏輯清晰的數學公式。對於歐式認購期權（Call Option）,公式如下：

C = S × N(d₁) - X × e^(-rT) × N(d₂)

其中：

C：認購期權的理論價格

S：標的資產當前市場價格（Current Stock Price）

X：期權的行使價（Strike Price）

r：無風險利率（Risk-free Interest Rate）,通常採用政府債券收益率

T：距離到期日的時間（Time to Expiration）,以年為單位

N(d)：標準常態分佈的累積機率分佈函數

e：自然對數的底數（約 2.71828）

而 d₁和 d₂的計算公式為：

d₁ = [ln(S/X) + (r + σ²/2) T] / (σ√T)

d₂ = d₁ - σ√T

這裡的σ（sigma）代表標的資產價格的年化波動率（Volatility）,是模型中最關鍵也最難估算的參數。

五大核心變數解析

1. 標的資產價格（S）

這是最直觀的變數，即期權所對應股票或資產的當前市場價格。標的資產價格上升，認購期權價值通常會增加；反之，認沽期權（Put Option）價值會增加。

2. 行使價（X）

期權合約中約定的買賣價格。行使價與市場價格的關係決定了期權的內在值。當市場價格高於行使價時，認購期權處於價內（In-the-Money）狀態。

3. 到期時間（T）

距離期權到期日的剩餘時間。一般而言，到期時間越長，期權的時間值越高，因為標的資產價格有更多時間發生有利變動。

4. 無風險利率（r）

通常以政府短期債券收益率作為參考。在香港市場，可參考香港外匯基金票據收益率；美股期權則常用美國國庫債券（Treasury Bill）收益率。利率上升通常會提高認購期權價值。

5. 波動率（σ）

衡量標的資產價格變動幅度的指標，是 Black-Scholes 模型中最具挑戰性的參數。波動率越高，期權價格通常越高，因為價格大幅波動增加了期權獲利機會。

重要提示： 波動率有「歷史波動率」（根據過去價格計算）和「隱含波動率」（從期權市場價格反推）兩種。實務上，交易者常用隱含波動率來判斷市場對未來波動的預期。

Black-Scholes 模型的核心假設

任何數學模型都建立在一定假設基礎上，Black-Scholes 模型也不例外。理解這些假設至關重要，因為它們直接影響模型在實際市場的適用性。

七大基本假設

股票價格遵循幾何布朗運動：假設股價變動是連續的，並符合對數常態分佈（Log-normal Distribution）。

市場無摩擦：不存在交易成本、稅收，且可以無限制地沽空（Short Selling）。

無風險利率恆定：在期權有效期內，無風險利率保持不變且已知。

波動率恆定：標的資產的價格波動率在期權存續期間維持固定水平。

不支付股息：原始模型假設標的股票在期權有效期內不支付股息（後來 Merton 擴展了含股息的版本）。

歐式期權：只能在到期日行使，不能提前行使。

市場有效性：沒有無風險套戥（Arbitrage）機會存在。

假設與現實的差距

這些假設在實際市場中往往難以完全成立。例如，真實市場中存在交易成本和稅收；股價可能出現跳躍式變動而非連續變化；波動率會隨市場情緒波動；許多美股和港股都會派發股息。

然而，即使存在這些限制，Black-Scholes 模型仍然是期權定價的重要基準。交易者在實務應用時，會根據市場實際情況對模型進行調整，例如使用 Black 模型處理期貨期權，或運用二項式模型（Binomial Model）為美式期權定價。

希臘字母指標：精準掌握期權風險

在期權交易中，單純知道期權的理論價格還不夠，更重要的是理解價格如何隨各種因素變化。這就是「希臘字母指標」（The Greeks）的用武之地。這些指標源自 Black-Scholes 模型的數學推導，用來衡量期權價格對不同變數的敏感度。

Delta（Δ）：價格變動敏感度

Delta 衡量當標的資產價格變動 1 單位時，期權價格的預期變動幅度。

• 認購期權的 Delta 範圍為 0 到 1（或 0% 到 100%）
• 認沽期權的 Delta 範圍為-1 到 0（或-100% 到 0%）
• 平價期權（At-the-Money）的 Delta 約為 0.5

例如，一個 Delta 為 0.6 的認購期權，意味著當標的股票上漲 1 港元時，期權價格預期上漲約 0.6 港元。

Delta 也可解讀為期權在到期時處於價內的機率。Delta 為 0.7 的認購期權，大約有 70% 機率在到期時處於價內狀態。

Gamma（Γ）：Delta 的變化率

Gamma 衡量 Delta 本身的變化速度，即標的資產價格變動 1 單位時，Delta 會改變多少。

• 平價期權的 Gamma 值最高
• 越接近到期日，平價期權的 Gamma 越大
• 深度價內或深度價外期權的 Gamma 接近零

Gamma 對於管理期權組合風險特別重要。高 Gamma 意味著 Delta 變化快速，需要更頻繁地調整對沖部位。

Theta（Θ）：時間價值耗損

Theta 衡量隨時間經過，期權價值每天的衰減幅度，也稱為「時間值損耗」（Time Decay）。

• 期權買方的 Theta 通常為負值（時間流逝對其不利）
• 期權賣方的 Theta 通常為正值（時間流逝對其有利）
• 越接近到期日，Theta 的影響越明顯

這解釋了為什麼持有期權需要承擔時間成本。即使目標資產價格不變，期權價值也會因時間流逝而下降。

Vega（ν）：波動率敏感度

Vega 衡量波動率變動 1% 時，期權價格的變動幅度。

• 期權買方（無論認購或認沽）的 Vega 為正值
• 期權賣方的 Vega 為負值
• 距離到期時間較長的期權 Vega 較高

當市場預期波動加劇（如重大經濟數據發佈前或企業業績公佈前）,隱含波動率上升，期權價格通常會上漲。

Rho（ρ）：利率敏感度

Rho 衡量無風險利率變動 1% 時，期權價格的變動幅度。在當前低利率環境下，Rho 的影響相對較小，但對於長期期權（如 LEAPS）仍需關注。

交易實務提示： 專業交易者通常同時監控多個希臘字母指標來管理風險。例如，Delta 中性（Delta-neutral）策略就是透過組合不同期權和標的資產，使整體投資組合的 Delta 接近零，從而減少價格波動風險。

模型的演進與替代方案

雖然 Black-Scholes 模型具有劃時代意義，但金融學界並未停止創新。為了克服原始模型的限制，研究者開發了多種改進版本和替代方案。

Black 模型（Black's Model）

Fischer Black 在 1976 年提出的改良版本，專門用於期貨期權和利率期權的定價。這個模型不需要假設目標資產遵循幾何布朗運動，更適合某些商品和利率衍生品。

二項式模型（Binomial Model）

Cox、Ross 和 Rubinstein 在 1979 年提出的離散時間模型。這個方法將期權存續期間分割為多個時間步，在每個時間點標的資產價格只有上漲或下跌兩種可能。二項式模型可以為美式期權定價，也更容易理解和實作。

研究顯示，當二叉樹的時間步數足夠多時（如 1000 步）,計算結果會收斂至 Black-Scholes 模型的結果。以滬深 300 股指期權為例，假設指數為 3727.69、無風險利率 1.79%、波動率 14.53%，Black-Scholes 模型計算的理論價為 31.75 元，而二項式模型在 1000 步時價格為 31.85 元，兩者非常接近。

蒙特卡羅模擬（Monte Carlo Simulation）

透過電腦隨機模擬大量可能的價格路徑，計算期權的平均回報現值。這個方法特別適合處理路徑相依期權（Path-dependent Options）或多標的期權，但計算量較大。

隨機波動率模型（Stochastic Volatility Models）

如 Heston 模型，放寬了波動率恆定的假設，允許波動率本身也隨機變動。這類模型更貼近實際市場觀察，特別是能夠解釋波動率微笑現象。

時間分數階 Black-Scholes 模型

2025 年的最新研究提出基於局部緊致集成徑向基函數方法的時間分數階 Black-Scholes 模型數值解法。這個方法旨在更好地刻畫金融市場的記憶效應（Memory Effect）和非馬可夫特性（Non-Markovian Property）,顯著提升了歐式和美式期權定價精度。

這些演進反映出金融工程學的持續發展，但 Black-Scholes 模型因其簡潔性和直觀性，仍然是期權定價理論的基石和實務應用的重要工具。

常見問題解答

Black-Scholes 模型適用於所有類型的期權嗎？

不是。Black-Scholes 原始模型僅適用於不支付股息的歐式期權。不過，模型已有多種擴展版本：

Merton 模型可處理支付連續股息的股票期權

調整後的 Black-Scholes 模型可以近似美式期權價格（當標的不支付股息時，美式認購期權價值與歐式相同）

對於美式認沽期權或支付大額股息的美式期權，建議使用二項式模型或其他數值方法

如何選擇正確的波動率參數？

波動率是 Black-Scholes 模型中最具挑戰性的參數。實務上有幾種方法：

歷史波動率：根據過去一段時間內的實際價格波動計算

隱含波動率：從當前期權市場價格反推，代表市場對未來波動的共識預期

預測波動率：利用 GARCH 等計量經濟模型預測

較常見會使用隱含波動率，因為它反映了市場的即時資訊和預期。但要注意，不同行使價和到期日的期權可能有不同的隱含波動率。

Black-Scholes 模型計算出的價格與市場價格不同時，應該怎麼辦？

這種差異很常見，原因可能包括：

• 模型假設與現實不符
• 輸入參數（特別是波動率）估算不準
• 市場供需關係導致價格偏離理論值
• 流動性不足造成價格失真

發現價差時，不應盲目認為存在套戥機會。應該：

1. 檢查輸入參數是否合理
2. 考慮交易成本（手續費、買賣價差）
3. 評估流動性風險
4. 分析是否有特殊因素（如即將派發股息、重大事件預期）

只有在充分考慮以上因素後，才能判斷是否存在真正的交易機會。

選擇哪種工具取決於你的投資目標、風險承受能力、市場觀點和經驗水平。無論選擇哪一種投資工具，都必須充分理解其運作機制、風險特性和交易規則，並建立穩健的風險管理計劃。你可透過長橋投資學堂或下載長橋 App了解更多投資知識。