什麼是中心極限定理？

1726 閱讀 · 更新時間 2024年12月5日

中心極限定理（Central Limit Theorem, CLT）是統計學中的一個基本定理，描述了在某些條件下，獨立同分布的隨機變量的樣本均值的分佈趨近於正態分佈的特性。該定理指出，當樣本容量足夠大時，無論原始變量的分佈形態如何，樣本均值的分佈都將近似於正態分佈。中心極限定理的主要內容包括：獨立同分布：樣本必須是相互獨立且來自相同分佈的隨機變量。樣本容量：樣本容量越大，樣本均值的分佈越接近正態分佈。通常認為樣本容量大於 30 時，中心極限定理就開始顯現其效果。均值和方差：樣本均值的期望值等於總體均值，樣本均值的方差等於總體方差除以樣本容量。中心極限定理在統計推斷中具有重要意義，因為它為使用正態分佈近似處理樣本均值提供了理論基礎，即使原始數據並不符合正態分佈。它廣泛應用於各種統計分析方法，如假設檢驗、置信區間估計和迴歸分析等。

定義

中心極限定理（Central Limit Theorem, CLT）是統計學中的一個基本定理，描述了在某些條件下，獨立同分布的隨機變量的樣本均值的分佈趨近於正態分佈的特性。該定理指出，當樣本容量足夠大時，無論原始變量的分佈形態如何，樣本均值的分佈都將近似於正態分佈。

起源

中心極限定理的概念最早可以追溯到 18 世紀末和 19 世紀初，隨着概率論的發展而逐漸成形。其現代形式由法國數學家皮埃爾 - 西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）在 1810 年首次提出，並在後來的研究中不斷完善。

類別和特徵

中心極限定理的主要內容包括：獨立同分布：樣本必須是相互獨立且來自相同分佈的隨機變量。樣本容量：樣本容量越大，樣本均值的分佈越接近正態分佈。通常認為樣本容量大於 30 時，中心極限定理就開始顯現其效果。均值和方差：樣本均值的期望值等於總體均值，樣本均值的方差等於總體方差除以樣本容量。

案例研究

案例一：假設某公司希望通過抽樣調查來估計其產品的平均使用壽命。即使產品壽命的分佈不是正態分佈，只要樣本容量足夠大（如超過 30），根據中心極限定理，樣本均值的分佈將近似於正態分佈，從而可以使用正態分佈來進行統計推斷。案例二：在金融市場中，投資者常常使用歷史收益率數據來預測未來收益。即使單個股票的收益率分佈不符合正態分佈，通過對多個股票的收益率進行抽樣，投資組合的平均收益率分佈將趨於正態分佈，這有助於風險管理和投資決策。