什麼是概率密度函數？

1084 閱讀 · 更新時間 2024年12月5日

概率密度函數（Probability Density Function, PDF）是描述連續型隨機變量在各個取值點處概率密度的函數。它用於衡量隨機變量在某個特定取值範圍內出現的可能性大小。概率密度函數的特點是其函數值越高，表示隨機變量在該點附近出現的可能性越大。PDF 的積分值在整個定義域上等於 1，表示隨機變量在其取值範圍內的總概率為 1。具體來説，對於連續型隨機變量 X 及其概率密度函數 f(x)，在區間 [a,b] 內隨機變量取值的概率可以表示為：常見的概率密度函數包括正態分佈、指數分佈和均勻分佈等。

定義

概率密度函數（Probability Density Function, PDF）是描述連續型隨機變量在各個取值點處概率密度的函數。它用於衡量隨機變量在某個特定取值範圍內出現的可能性大小。概率密度函數的特點是其函數值越高，表示隨機變量在該點附近出現的可能性越大。PDF 的積分值在整個定義域上等於 1，表示隨機變量在其取值範圍內的總概率為 1。

起源

概率密度函數的概念起源於概率論和統計學的發展。19 世紀末和 20 世紀初，隨着對隨機現象的研究深入，數學家們開始系統地研究連續型隨機變量的概率分佈，進而引入了概率密度函數的概念。

類別和特徵

常見的概率密度函數包括正態分佈、指數分佈和均勻分佈等。正態分佈以其鐘形曲線著稱，廣泛應用於自然和社會科學中。指數分佈常用於描述事件發生的時間間隔，如電話呼叫的到達時間。均勻分佈則表示在某個區間內每個值出現的可能性相等。

案例研究

案例一：在金融市場中，股票收益率常被假設為正態分佈。假設某股票的日收益率服從正態分佈，其概率密度函數可以幫助投資者評估在特定收益率範圍內的可能性。案例二：在電信行業，客户呼叫的到達時間常被建模為指數分佈。通過概率密度函數，運營商可以預測在某個時間段內接到特定數量呼叫的概率。

常見問題

常見問題包括誤解概率密度函數的值為概率，而實際上它表示的是概率密度。另一個問題是忽視了概率密度函數的積分特性，即其在整個定義域上的積分值必須為 1。

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