積分投資法 - Longbridge

如果第一篇文章能看懂的話，那第二篇文章就更加簡單了，因為很多的公式什麼的，大學課程都有教過，哪怕是文科，應該也是強制學的吧🥲所以在座各位應該是都能理解的。

從大數定律，其實我們還可以衍生一個東西，我們可以這麼去看投資。如果説大數定律是靜態結果，那微積分是動態過程。

大數定律告訴我們最終會到達哪裏，也就是長期平均回報。
微積分告訴我們如何到達那裏，以及路徑會是怎樣的，通過變化率和累積過程計算。
公式則是將這兩者結合起來的藍圖。

比如凱利公式，一個在大數定律框架下，可以算出如何最優地分配資金以最大化長期複合增長。

f^* = \frac{p \cdot b - q}{b}

f^* = 應該投入的資金佔總資金的比例
p = 獲勝的概率，比如 0.55，即 55%。
q = 1 - p = 失敗的概率，比如 0.45。
b = 賠率，即贏了能拿回多少，例如下注 1 元，贏回 2 元，則淨贏 1 元，賠率 b=1。

它和大數定律和微積分的聯繫：

凱利公式前提就是大數定律。它假設你這個投資遊戲會重複無數次。只有在這種長期重複的背景下，討論長期複合增長率最大化才有意義。如果你的投資策略沒有正的期望值 p \cdot b - q > 0 ，大數定律會讓你最終破產，凱利公式也救不了你。
凱利公式的推導本身就用到了微積分中的最優化理論。它求解的是財富對數函數 \mathbb{E}[\log(W)] 的最大值點。通過對期望值函數求導，並令導數等於零，可以找到這個最優的下注比例 f^* 。

凱利公式教導投資者，即便有一個優勢p > 0.5 ，你也不應該 allin，因為 f^* = 1。下注過重，雖然單次收益最大，但一次失敗帶來的損失也極大，會嚴重損害你的複利積累過程。它通過數學精確地定義了下注過重的邊界，確保你的資金能在市場的隨機波動，也就是短期不確定性中生存下來，最終享受到大數定律帶來的必然結果，也就是長期穩定增長。

要學會將投資視為一個連續變化的動態過程。

微積分研究的是變化。投資不是一年看一次的數字遊戲，而是一個資產價格和投資組合價值連續變化的過程。比如導數衡量的瞬時變化率。

在物理學中，位移的導數是速度，速度的導數是加速度。
在投資中，你的資產淨值曲線的導數，就是你的瞬時收益率或者叫損失率。
大數定律描述的是這條資產淨值曲線長期的平均斜率。而導數描述的是這條曲線上每一點切線的斜率，即每日、每時的漲跌。短期來看，導數的每日漲跌動劇烈，正負交替，充滿了隨機性。但長期來看，這些劇烈波動的瞬時變化率的平均值，會收斂於一個穩定的數值，這就是由你投資組合的內在期望回報率所決定的。

承襲一個收斂狀態下，另外一個理論其實也起到了作用，那就是積分衡量累積效應。

在物理學中，對速度進行積分，得到的就是總位移。
在投資中，對你連續不斷的微小收益率進行積分，得到的就是你的總財富。

這正是複利的威力所在！

A = P(1 + r)^t

他本身就是一個離散時間的積分形式。

更精確的微積分視角是

A(t) = P \cdot e^{rt}

這裏， e 是自然常數， r 是連續複利收益率。這個公式是通過對無限小時間間隔內的收益進行積分，累積而得到的。

財富的增長不是一個階梯函數，而是一條可能很曲折的連續曲線。我們的目標不是抓住每一個向上的鋸齒導數，那是做不到的；我們的目標是確保這條曲線的長期積分值，也就是總財富能夠以指數形式增長。而實現這一目標的唯一可靠方法，就是依靠大數定律，通過長期和分散化，讓你的實際年均回報率 r 無限接近你策略的期望回報率。

我個人堅信，通過投資於一個具有長期正期望回報p \cdot b - q > 0 的、廣泛分散的資產組合，比如指數基金。在足夠長的時間尺度下，我的平均回報一定會趨近於該組合的內在價值增長率。

那要做的只剩下制定和執行策略。我不會因為相信大數定律就盲目全倉投入。我會用凱利公式的精神指導自己。

在具有優勢的賭局中下注，但永遠保留一定的安全邊際，即現金或低風險資產，避免因短期的極端波動，負的導數尖峯而被清零，從而無法享受到長期的積分效應。

要學會理解過程動態，接受我的投資組合價值會像一條崎嶇不平的山路一樣連續波動，導數時正時負，我不會因為短暫的下跌而恐慌性拋售；也不會因為短暫的暴漲而過度自信。我關注的是這條路徑的整體走向和最終高度，也就是積分結果。我的工作就是確保自己始終在路上不下車。

大數定律為鋒，告訴你長期的方向。
凱利公式為柄，告訴你在這條長路上，用多快的速度、攜帶多少補給，怎麼倉位管理最安全、最有效。
微積分為環，理解這條路必然有上有下，有崎嶇有平坦，但只要你朝着北極星的方向前進，並遵循導指引，你就一定能到達財富的終點。

這就是小可樂的天子劍。

理解了這三者的結合，你就不再是一個賭徒，而成為一名真正的投資人。