Black-Scholes 期权定价模型：掌握期权定价的核心公式

期权是现代金融市场中其中一个投资工具，但要准确评估期权的合理价格却并非易事。1973 年，Fischer Black 和 Myron Scholes 开发的期权定价模型彻底改变了金融界对衍生工具的理解，这个模型更为其共同开发者 Myron Scholes 及 Robert Merton 赢得 1997 年诺贝尔经济学奖。对于香港投资者而言，理解 Black-Scholes 模型不仅能帮助你为评估期权价值提供理论价格参考，更能在交易美股期权或港股期权时做出更明智的决策。本文将深入浅出地解析这个划时代的期权定价工具，从基础原理到实际应用，让你全面掌握期权定价的核心知识。

什么是 Black-Scholes 期权定价模型

Black-Scholes 期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model）是一个用数学方法计算欧式期权理论价格的模型。所谓欧式期权（European Option），是指只能在到期日当天才能行使的期权，与美式期权（可在到期日前任何时间行使）有所不同。

模型的历史意义

1973 年，Fischer Black 和 Myron Scholes 在《政治经济学期刊》发表了这个具有里程碑意义的定价公式。同年，Robert Merton 也发表了相关论文，进一步扩展了这个模型的应用范围，特别是针对支付股息的股票期权。这个模型之所以被视为金融学的重大突破，是因为它首次提供了一个严谨的数学框架来计算期权的「公允价值」（Fair Value）,让期权交易从过往依赖经验判断转变为可以科学量化的投资工具。

为什么期权需要定价模型

在期权市场中，买方支付的期权金（Premium）由两部分组成：内在值（Intrinsic Value）和时间值（Time Value）。内在值相对容易计算，它是期权立即行使时能获得的回报。但时间值的计算就复杂得多，因为它受到多种因素影响，包括标的资产价格波动、距离到期日的时间长短、市场利率等。Black-Scholes 模型正是为了解决时间值的定价难题而诞生。

Black-Scholes 公式的组成要素

Black-Scholes 模型的核心是一个看似复杂但逻辑清晰的数学公式。对于欧式认购期权（Call Option）,公式如下：

C = S × N(d₁) - X × e^(-rT) × N(d₂)

其中：

C：认购期权的理论价格

S：标的资产当前市场价格（Current Stock Price）

X：期权的行使价（Strike Price）

r：无风险利率（Risk-free Interest Rate）,通常采用政府债券收益率

T：距离到期日的时间（Time to Expiration）,以年为单位

N(d)：标准常态分布的累积机率分布函数

e：自然对数的底数（约 2.71828）

而 d₁和 d₂的计算公式为：

d₁ = [ln(S/X) + (r + σ²/2) T] / (σ√T)

d₂ = d₁ - σ√T

这里的σ（sigma）代表标的资产价格的年化波动率（Volatility）,是模型中最关键也最难估算的参数。

五大核心变数解析

1. 标的资产价格（S）

这是最直观的变数，即期权所对应股票或资产的当前市场价格。标的资产价格上升，认购期权价值通常会增加；反之，认沽期权（Put Option）价值会增加。

2. 行使价（X）

期权合约中约定的买卖价格。行使价与市场价格的关系决定了期权的内在值。当市场价格高于行使价时，认购期权处于价内（In-the-Money）状态。

3. 到期时间（T）

距离期权到期日的剩余时间。一般而言，到期时间越长，期权的时间值越高，因为标的资产价格有更多时间发生有利变动。

4. 无风险利率（r）

通常以政府短期债券收益率作为参考。在香港市场，可参考香港外汇基金票据收益率；美股期权则常用美国国库债券（Treasury Bill）收益率。利率上升通常会提高认购期权价值。

5. 波动率（σ）

衡量标的资产价格变动幅度的指标，是 Black-Scholes 模型中最具挑战性的参数。波动率越高，期权价格通常越高，因为价格大幅波动增加了期权获利机会。

重要提示： 波动率有「历史波动率」（根据过去价格计算）和「隐含波动率」（从期权市场价格反推）两种。实务上，交易者常用隐含波动率来判断市场对未来波动的预期。

Black-Scholes 模型的核心假设

任何数学模型都建立在一定假设基础上，Black-Scholes 模型也不例外。理解这些假设至关重要，因为它们直接影响模型在实际市场的适用性。

七大基本假设

股票价格遵循几何布朗运动：假设股价变动是连续的，并符合对数常态分布（Log-normal Distribution）。

市场无摩擦：不存在交易成本、税收，且可以无限制地沽空（Short Selling）。

无风险利率恒定：在期权有效期内，无风险利率保持不变且已知。

波动率恒定：标的资产的价格波动率在期权存续期间维持固定水平。

不支付股息：原始模型假设标的股票在期权有效期内不支付股息（后来 Merton 扩展了含股息的版本）。

欧式期权：只能在到期日行使，不能提前行使。

市场有效性：没有无风险套戥（Arbitrage）机会存在。

假设与现实的差距

这些假设在实际市场中往往难以完全成立。例如，真实市场中存在交易成本和税收；股价可能出现跳跃式变动而非连续变化；波动率会随市场情绪波动；许多美股和港股都会派发股息。

然而，即使存在这些限制，Black-Scholes 模型仍然是期权定价的重要基准。交易者在实务应用时，会根据市场实际情况对模型进行调整，例如使用 Black 模型处理期货期权，或运用二项式模型（Binomial Model）为美式期权定价。

希腊字母指标：精准掌握期权风险

在期权交易中，单纯知道期权的理论价格还不够，更重要的是理解价格如何随各种因素变化。这就是「希腊字母指标」（The Greeks）的用武之地。这些指标源自 Black-Scholes 模型的数学推导，用来衡量期权价格对不同变数的敏感度。

Delta（Δ）：价格变动敏感度

Delta 衡量当标的资产价格变动 1 单位时，期权价格的预期变动幅度。

• 认购期权的 Delta 范围为 0 到 1（或 0% 到 100%）
• 认沽期权的 Delta 范围为-1 到 0（或-100% 到 0%）
• 平价期权（At-the-Money）的 Delta 约为 0.5

例如，一个 Delta 为 0.6 的认购期权，意味著当标的股票上涨 1 港元时，期权价格预期上涨约 0.6 港元。

Delta 也可解读为期权在到期时处于价内的机率。Delta 为 0.7 的认购期权，大约有 70% 机率在到期时处于价内状态。

Gamma（Γ）：Delta 的变化率

Gamma 衡量 Delta 本身的变化速度，即标的资产价格变动 1 单位时，Delta 会改变多少。

• 平价期权的 Gamma 值最高
• 越接近到期日，平价期权的 Gamma 越大
• 深度价内或深度价外期权的 Gamma 接近零

Gamma 对于管理期权组合风险特别重要。高 Gamma 意味著 Delta 变化快速，需要更频繁地调整对冲部位。

Theta（Θ）：时间价值耗损

Theta 衡量随时间经过，期权价值每天的衰减幅度，也称为「时间值损耗」（Time Decay）。

• 期权买方的 Theta 通常为负值（时间流逝对其不利）
• 期权卖方的 Theta 通常为正值（时间流逝对其有利）
• 越接近到期日，Theta 的影响越明显

这解释了为什么持有期权需要承担时间成本。即使目标资产价格不变，期权价值也会因时间流逝而下降。

Vega（ν）：波动率敏感度

Vega 衡量波动率变动 1% 时，期权价格的变动幅度。

• 期权买方（无论认购或认沽）的 Vega 为正值
• 期权卖方的 Vega 为负值
• 距离到期时间较长的期权 Vega 较高

当市场预期波动加剧（如重大经济数据发布前或企业业绩公布前）,隐含波动率上升，期权价格通常会上涨。

Rho（ρ）：利率敏感度

Rho 衡量无风险利率变动 1% 时，期权价格的变动幅度。在当前低利率环境下，Rho 的影响相对较小，但对于长期期权（如 LEAPS）仍需关注。

交易实务提示： 专业交易者通常同时监控多个希腊字母指标来管理风险。例如，Delta 中性（Delta-neutral）策略就是透过组合不同期权和标的资产，使整体投资组合的 Delta 接近零，从而减少价格波动风险。

模型的演进与替代方案

虽然 Black-Scholes 模型具有划时代意义，但金融学界并未停止创新。为了克服原始模型的限制，研究者开发了多种改进版本和替代方案。

Black 模型（Black's Model）

Fischer Black 在 1976 年提出的改良版本，专门用于期货期权和利率期权的定价。这个模型不需要假设目标资产遵循几何布朗运动，更适合某些商品和利率衍生品。

二项式模型（Binomial Model）

Cox、Ross 和 Rubinstein 在 1979 年提出的离散时间模型。这个方法将期权存续期间分割为多个时间步，在每个时间点标的资产价格只有上涨或下跌两种可能。二项式模型可以为美式期权定价，也更容易理解和实作。

研究显示，当二叉树的时间步数足够多时（如 1000 步）,计算结果会收敛至 Black-Scholes 模型的结果。以沪深 300 股指期权为例，假设指数为 3727.69、无风险利率 1.79%、波动率 14.53%，Black-Scholes 模型计算的理论价为 31.75 元，而二项式模型在 1000 步时价格为 31.85 元，两者非常接近。

蒙特卡罗模拟（Monte Carlo Simulation）

透过电脑随机模拟大量可能的价格路径，计算期权的平均回报现值。这个方法特别适合处理路径相依期权（Path-dependent Options）或多标的期权，但计算量较大。

随机波动率模型（Stochastic Volatility Models）

如 Heston 模型，放宽了波动率恒定的假设，允许波动率本身也随机变动。这类模型更贴近实际市场观察，特别是能够解释波动率微笑现象。

时间分数阶 Black-Scholes 模型

2025 年的最新研究提出基于局部紧致集成径向基函数方法的时间分数阶 Black-Scholes 模型数值解法。这个方法旨在更好地刻画金融市场的记忆效应（Memory Effect）和非马可夫特性（Non-Markovian Property）,显著提升了欧式和美式期权定价精度。

这些演进反映出金融工程学的持续发展，但 Black-Scholes 模型因其简洁性和直观性，仍然是期权定价理论的基石和实务应用的重要工具。

常见问题解答

Black-Scholes 模型适用于所有类型的期权吗？

不是。Black-Scholes 原始模型仅适用于不支付股息的欧式期权。不过，模型已有多种扩展版本：

• Merton 模型可处理支付连续股息的股票期权
• 调整后的 Black-Scholes 模型可以近似美式期权价格（当标的不支付股息时，美式认购期权价值与欧式相同）

对于美式认沽期权或支付大额股息的美式期权，大多使用二项式模型或其他数值方法

如何选择正确的波动率参数？

波动率是 Black-Scholes 模型中最具挑战性的参数。实务上有几种方法：

• 历史波动率：根据过去一段时间内的实际价格波动计算
• 隐含波动率：从当前期权市场价格反推，代表市场对未来波动的共识预期
• 预测波动率：利用 GARCH 等计量经济模型预测

较常见会使用隐含波动率，因为它反映了市场的即时资讯和预期。但要注意，不同行使价和到期日的期权可能有不同的隐含波动率。

Black-Scholes 模型计算出的价格与市场价格不同时，应该怎么办？

这种差异很常见，原因可能包括：

• 模型假设与现实不符
• 输入参数（特别是波动率）估算不准
• 市场供需关系导致价格偏离理论值
• 流动性不足造成价格失真

发现价差时，不应盲目认为存在套戥机会。应该：

1. 检查输入参数是否合理
2. 考虑交易成本（手续费、买卖价差）
3. 评估流动性风险
4. 分析是否有特殊因素（如即将派发股息、重大事件预期）

只有在充分考虑以上因素后，才能判断是否存在真正的交易机会。

选择哪种工具取决于你的投资目标、风险承受能力、市场观点和经验水平。无论选择哪一种投资工具，都必须充分理解其运作机制、风险特性和交易规则，并建立稳健的风险管理计划。你可透过长桥投资学堂或下载长桥 App了解更多投资知识。