Black-Scholes 期权定价模型与希腊字母入门

最近因为工作沟通上的需要（emm...）, 终于还是把 BS 模型剩下的部分给看了一遍，果然 Deadline 才是第一驱动力吗。

另外一个写这篇内容的动力是，经典的《选择，未来及其他导数》一书严谨但冗长，而网上一些关于 BS 模型的介绍文章总是会省略掉很多关键前提和假设，在阅读时总是让人一头雾水，比如某些步骤突然就像天上掉下来的一样，然后进入阅读卡点。

本文的目标就是梳理一遍 BS 模型涉及的信息，包括模型的简要历史、整体思想、每一步推导中是引入了某些假设信息，还是单纯的数学技术处理，从而完整的串一遍其核心逻辑。

虽然在介绍 BS 模型时会不可避免的涉及到数学，但本文仅从信息必要性出发介绍一些关键术语，省略掉过于细节的数学处理步骤，来降低阅读压力。相信大家可以轻松愉快的读完，并感受到 BS 模型的简洁和优雅性质。

当然由于整体文章比较粗浅，想进一步了解期权定价或者想了解超越 BS 模型的其他模型的，就需要进一步下功夫去自己研究了。

对不确定性建模

想要理解期权定价模型，必须要先了解如何对不确定性进行建模。下面的历史省去了一些中间知识，保留了 BS 模型所依赖的前置知识的核心发展路径：

• 1827 年，植物学家罗伯特·布朗 (Robert Brown) 观察到了水中花粉颗粒的无规则运动，也即闻名后世的布朗运动。

• 1880 年，Thorvald Thiele 对其进行了首次数学分析。
• 1900 年，Louis Bachelier (其导师是著名数学家亨利·庞加莱) 独立在毕业论文中使用它来模拟股票市场。
• 1905 年，爱因斯坦在他的扩散模型中使用了巴舍利耶的解决方案、
• 1923 年：Norbert Wiener（也即控制论之父），为布朗运动建立了一套完整的数学体系描述，即维纳过程，一般用 Wt 表示，其主要性质就是随着时间进行随机运动。维纳过程常见的模拟图如下（是不是非常像短期的股价走势图）：

• 1940s：日本数学家伊藤清司发表了随机微积分领域的重要论文，该领域涉及基于维纳或布朗运动过程的随机积分和随机微分方程，现在被称为伊藤微积分，其中最重要的结果是伊藤引理。

把不确定性建模应用到股价上

由于现实原因，股价不会为负，所以为了获得这种对数性质，一般会使用几何布朗运动建模的基础，几何布朗运动假设变量的相对变化（百分比变化）服从布朗运动，即变量的对数服从布朗运动。

在继续这个话题之前，有一个显而易见的问题：“凭什么就用布朗运动来模拟股价呢？” 

1. 人们观察到股价走势在短期内呈现随机性，所以需要一种随机模型。—— 股价的随机性在 1965 年被尤金·法玛通过 “市场有效假说” 进一步论证：由于市场有效，所以无人能预测股价，所以股价必然会随机游走。 
2. 布朗运动就是这么一种自然界中容易观察到的随机现象，看上去和股价走势有一些相似的性质，同时恰好维纳已经对布朗运动有了一个简洁，优雅的数学描述，也即维纳过程。
3. 人类并不真的知道 “股价性质是否真的和布朗运动的性质完全一样”，但几乎所有物理数学模型都是这样，从实用主义的角度看，能局部使用的模型已经是一个可用模型。
4. 从实证检验的角度看，短期（例如日度或周度）的股票收益率在一定程度上近似服从正态分布，但通常存在 “肥尾” 现象，即极端事件发生的概率比正态分布预测的要高。长期来看，收益率的分布可能偏离正态分布更远。

在运用几何布朗运动调整后，常见的股票价格走势模拟图长这样（颜色深浅基本上能看出来，其概率分布保留了正态分布的性质）：

另外三个假设：市场有效、无套利原则、风险中性

这三个概念都属于是标准术语了，所以这里做一个比较乏味的标准介绍。

1. 市场有效性（Market Efficiency）

• 定义： 市场有效性是指在股票市场上，所有可获得的信息都已迅速且充分地反映在资产价格中。这意味着投资者无法通过分析历史价格或其他公开信息来持续获得超额收益。
• 三种形式：
  • 弱式有效市场： 股价已经反映了所有历史价格信息，技术分析无效。
  • 半强式有效市场： 股价已经反映了所有公开信息（包括历史价格、公司财务报表、新闻等），基本面分析部分无效。
  • 强式有效市场： 股价已经反映了所有信息，包括公开和内幕信息，任何人都无法通过任何信息获得超额收益。

2. 无套利原则（No-Arbitrage Principle）

• 定义： 无套利是指市场上不存在无风险的套利机会，即不可能通过同时买入和卖出相关资产来获得无风险的利润。无套利定价是指通过构建一个复制投资组合，该组合的现金流与被定价资产的现金流完全相同，从而确定该资产的合理价格。
• 核心思想： 如果存在套利机会，理性的投资者会立即采取行动，买入低估的资产并卖出高估的资产，直到套利机会消失，价格恢复均衡。
• 依赖市场有效：无套利定价是衍生品定价的基础，它依赖于市场有效性。只有在市场有效的情况下，套利机会才能被迅速消除，无套利定价才能成立

3. 风险中性（Risk Neutrality）

• 定义： 风险中性是一种假设，在风险中性的世界中，投资者对风险的态度是中立的，即不要求额外的风险溢价来承担风险。换句话说，投资者只关心预期收益，而不关心收益的波动性。
• 重要性： 风险中性定价方法是衍生品定价的核心工具。通过构建一个风险中性的概率测度，我们可以使用期望值计算来确定衍生品的合理价格，而无需考虑投资者的风险偏好。
• 依赖市场有效与无套利原则： 风险中性定价的有效性依赖于市场有效性，特别是无套利原则。在无套利的市场中，无论投资者的风险偏好如何，套利者都会消除任何价格偏差，使得衍生品价格最终收敛到风险中性定价所确定的价格。

核心推导流程

不想看数学的，只看流程思想即可，但需要特别注意每一步到底是引入假设信息得来的，还是仅仅是数学推导。没有什么信息是从天而降的，这样才能从信息（论）的视角上获得完整理解。

长桥这个表格展示有问题 (自家吐槽，最为致命)，为了排版，我就截个图吧...

希腊字母

期权价格最终的定价函数中存在 4 个参数，分别对这几个参数进行处理即可得到常用的希腊字母：

1. S: 正股股价
   1. ∆(Delta)：期权价格对其进行一阶偏导（也即保持其他条件不变，评估期权价格对正股价格的敏感性，具体计算就是将其他变量当成常数，然后在 S 上应用导数法则，得出偏导数）。特别需要指出的是，这里的 ∆ 就是前面推导过程中，构建风险中性组合中的正股份额 ∆， ∆ 值在 -1～1 之间。
   2. Γ(Gamma)：二阶偏导，反应 ∆ 的变化率。
2.  σ: 正股波动率
   1. Vega (Vega)：期权价格对正股波动率的一阶偏导。
   2. 值得一提的是：假设其他参数确定，根据市场对期权的定价，反推正股的波动率 σ，我们就得到了正股隐含波动率。不同行权价/到期日的期权会给出不同的隐含波动率。
3. r：无风险利率（比如美国长期国债利率）
   1. ρ (Rho)：期权价格对无风险利率的一阶偏导。
4. t：时间
   1. Θ(Theta)：期权价格对时间的一阶偏导

理论上可以对所有参数都进行二阶偏导，得到 8 个希腊字母，但一般只在更复杂的投资组合，对光滑性有更高要求的场景中用。

另外可以固定 r，σ，观察几个偏导数在 S, t 两个重点维度上的表现，制图来自东海证券 - 期权希腊字母

∆ 与风险

∆ 意味着为了保持风险中性，每持有一份期权，对应需要多少正股的多头或者空头仓位来对冲其风险敞口（也即向上或者向下的波动性）。由于期权的杠杆合约性质，每一份期权需要的正股比例必然介于 (-1, 1) 之间，比如当标的涨 1 元时，1 份（注意 1 份不是一张， 一般一张期权会对应 100 份正股合约）看涨期权的价格怎么也不可能涨超过 1 元（因为持有 1 份看涨期权，相当于 “有权买 1 股”）。

∆ 的绝对值越大，意味着期权价格越是跟随正股的波动，意味着正股的波动会在期权上更加剧烈的放大，意味着风险敞口越大，每一份期权合约都需要更多的反向正股来对冲。

了解 BS 模型就能挣钱吗？

不能。

但充分了解 BS 模型，或许可以让人少踩一些鬼使神差的坑。

至少对我自己来说是这样。

比如可以使用期权计算器来规避一些溢价严重的期权？