Black-Scholes 期權定價模型與希臘字母入門

最近因為工作溝通上的需要（emm...）, 終於還是把 BS 模型剩下的部分給看了一遍，果然 Deadline 才是第一驅動力嗎。

另外一個寫這篇內容的動力是，經典的《選擇，未來及其他導數》一書嚴謹但冗長，而網上一些關於 BS 模型的介紹文章總是會省略掉很多關鍵前提和假設，在閲讀時總是讓人一頭霧水，比如某些步驟突然就像天上掉下來的一樣，然後進入閲讀卡點。

本文的目標就是梳理一遍 BS 模型涉及的信息，包括模型的簡要歷史、整體思想、每一步推導中是引入了某些假設信息，還是單純的數學技術處理，從而完整的串一遍其核心邏輯。

雖然在介紹 BS 模型時會不可避免的涉及到數學，但本文僅從信息必要性出發介紹一些關鍵術語，省略掉過於細節的數學處理步驟，來降低閲讀壓力。相信大家可以輕鬆愉快的讀完，並感受到 BS 模型的簡潔和優雅性質。

當然由於整體文章比較粗淺，想進一步瞭解期權定價或者想了解超越 BS 模型的其他模型的，就需要進一步下功夫去自己研究了。

對不確定性建模

想要理解期權定價模型，必須要先了解如何對不確定性進行建模。下面的歷史省去了一些中間知識，保留了 BS 模型所依賴的前置知識的核心發展路徑：

• 1827 年，植物學家羅伯特·布朗 (Robert Brown) 觀察到了水中花粉顆粒的無規則運動，也即聞名後世的布朗運動。

• 1880 年，Thorvald Thiele 對其進行了首次數學分析。
• 1900 年，Louis Bachelier (其導師是著名數學家亨利·龐加萊) 獨立在畢業論文中使用它來模擬股票市場。
• 1905 年，愛因斯坦在他的擴散模型中使用了巴舍利耶的解決方案、
• 1923 年：Norbert Wiener（也即控制論之父），為布朗運動建立了一套完整的數學體系描述，即維納過程，一般用 Wt 表示，其主要性質就是隨着時間進行隨機運動。維納過程常見的模擬圖如下（是不是非常像短期的股價走勢圖）：

• 1940s：日本數學家伊藤清司發表了隨機微積分領域的重要論文，該領域涉及基於維納或布朗運動過程的隨機積分和隨機微分方程，現在被稱為伊藤微積分，其中最重要的結果是伊藤引理。

把不確定性建模應用到股價上

由於現實原因，股價不會為負，所以為了獲得這種對數性質，一般會使用幾何布朗運動建模的基礎，幾何布朗運動假設變量的相對變化（百分比變化）服從布朗運動，即變量的對數服從布朗運動。

在繼續這個話題之前，有一個顯而易見的問題：“憑什麼就用布朗運動來模擬股價呢？” 

1. 人們觀察到股價走勢在短期內呈現隨機性，所以需要一種隨機模型。—— 股價的隨機性在 1965 年被尤金·法瑪通過 “市場有效假説” 進一步論證：由於市場有效，所以無人能預測股價，所以股價必然會隨機遊走。 
2. 布朗運動就是這麼一種自然界中容易觀察到的隨機現象，看上去和股價走勢有一些相似的性質，同時恰好維納已經對布朗運動有了一個簡潔，優雅的數學描述，也即維納過程。
3. 人類並不真的知道 “股價性質是否真的和布朗運動的性質完全一樣”，但幾乎所有物理數學模型都是這樣，從實用主義的角度看，能局部使用的模型已經是一個可用模型。
4. 從實證檢驗的角度看，短期（例如日度或周度）的股票收益率在一定程度上近似服從正態分佈，但通常存在 “肥尾” 現象，即極端事件發生的概率比正態分佈預測的要高。長期來看，收益率的分佈可能偏離正態分佈更遠。

在運用幾何布朗運動調整後，常見的股票價格走勢模擬圖長這樣（顏色深淺基本上能看出來，其概率分佈保留了正態分佈的性質）：

另外三個假設：市場有效、無套利原則、風險中性

這三個概念都屬於是標準術語了，所以這裏做一個比較乏味的標準介紹。

1. 市場有效性（Market Efficiency）

• 定義： 市場有效性是指在股票市場上，所有可獲得的信息都已迅速且充分地反映在資產價格中。這意味着投資者無法通過分析歷史價格或其他公開信息來持續獲得超額收益。
• 三種形式：
  • 弱式有效市場： 股價已經反映了所有歷史價格信息，技術分析無效。
  • 半強式有效市場： 股價已經反映了所有公開信息（包括歷史價格、公司財務報表、新聞等），基本面分析部分無效。
  • 強式有效市場： 股價已經反映了所有信息，包括公開和內幕信息，任何人都無法通過任何信息獲得超額收益。

2. 無套利原則（No-Arbitrage Principle）

• 定義： 無套利是指市場上不存在無風險的套利機會，即不可能通過同時買入和賣出相關資產來獲得無風險的利潤。無套利定價是指通過構建一個複製投資組合，該組合的現金流與被定價資產的現金流完全相同，從而確定該資產的合理價格。
• 核心思想： 如果存在套利機會，理性的投資者會立即採取行動，買入低估的資產並賣出高估的資產，直到套利機會消失，價格恢復均衡。
• 依賴市場有效：無套利定價是衍生品定價的基礎，它依賴於市場有效性。只有在市場有效的情況下，套利機會才能被迅速消除，無套利定價才能成立

3. 風險中性（Risk Neutrality）

• 定義： 風險中性是一種假設，在風險中性的世界中，投資者對風險的態度是中立的，即不要求額外的風險溢價來承擔風險。換句話説，投資者只關心預期收益，而不關心收益的波動性。
• 重要性： 風險中性定價方法是衍生品定價的核心工具。通過構建一個風險中性的概率測度，我們可以使用期望值計算來確定衍生品的合理價格，而無需考慮投資者的風險偏好。
• 依賴市場有效與無套利原則： 風險中性定價的有效性依賴於市場有效性，特別是無套利原則。在無套利的市場中，無論投資者的風險偏好如何，套利者都會消除任何價格偏差，使得衍生品價格最終收斂到風險中性定價所確定的價格。

核心推導流程

不想看數學的，只看流程思想即可，但需要特別注意每一步到底是引入假設信息得來的，還是僅僅是數學推導。沒有什麼信息是從天而降的，這樣才能從信息（論）的視角上獲得完整理解。

長橋這個表格展示有問題 (自家吐槽，最為致命)，為了排版，我就截個圖吧...

希臘字母

期權價格最終的定價函數中存在 4 個參數，分別對這幾個參數進行處理即可得到常用的希臘字母：

1. S: 正股股價
   1. ∆(Delta)：期權價格對其進行一階偏導（也即保持其他條件不變，評估期權價格對正股價格的敏感性，具體計算就是將其他變量當成常數，然後在 S 上應用導數法則，得出偏導數）。特別需要指出的是，這裏的 ∆ 就是前面推導過程中，構建風險中性組合中的正股份額 ∆， ∆ 值在 -1～1 之間。
   2. Γ(Gamma)：二階偏導，反應 ∆ 的變化率。
2.  σ: 正股波動率
   1. Vega (Vega)：期權價格對正股波動率的一階偏導。
   2. 值得一提的是：假設其他參數確定，根據市場對期權的定價，反推正股的波動率 σ，我們就得到了正股隱含波動率。不同行權價/到期日的期權會給出不同的隱含波動率。
3. r：無風險利率（比如美國長期國債利率）
   1. ρ (Rho)：期權價格對無風險利率的一階偏導。
4. t：時間
   1. Θ(Theta)：期權價格對時間的一階偏導

理論上可以對所有參數都進行二階偏導，得到 8 個希臘字母，但一般只在更復雜的投資組合，對光滑性有更高要求的場景中用。

另外可以固定 r，σ，觀察幾個偏導數在 S, t 兩個重點維度上的表現，製圖來自東海證券 - 期權希臘字母

∆ 與風險

∆ 意味着為了保持風險中性，每持有一份期權，對應需要多少正股的多頭或者空頭倉位來對沖其風險敞口（也即向上或者向下的波動性）。由於期權的槓桿合約性質，每一份期權需要的正股比例必然介於 (-1, 1) 之間，比如當標的漲 1 元時，1 份（注意 1 份不是一張， 一般一張期權會對應 100 份正股合約）看漲期權的價格怎麼也不可能漲超過 1 元（因為持有 1 份看漲期權，相當於 “有權買 1 股”）。

∆ 的絕對值越大，意味着期權價格越是跟隨正股的波動，意味着正股的波動會在期權上更加劇烈的放大，意味着風險敞口越大，每一份期權合約都需要更多的反向正股來對沖。

瞭解 BS 模型就能掙錢嗎？

不能。

但充分了解 BS 模型，或許可以讓人少踩一些鬼使神差的坑。

至少對我自己來説是這樣。

比如可以使用期權計算器來規避一些溢價嚴重的期權？